Question

f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，x∈（0，

π

2

）的值域為

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令t=sinx+cosx，右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出t的范圍，將表示出的t兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，表示出sinxcosx，代入函數(shù)解析式值，整理后利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求出f（x）的值域．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），即x+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴1＜

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，即1＜t≤

2

，
∴t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
當(dāng)t=1時，函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

（t+1）²-1，取最小值1；
當(dāng)t=

2

時，函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

（t+1）²-1，取最大值

1+2 2

2

，
則函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域為（1，

1+2 2

2

]．
故答案為：（1，

1+2 2

2

]

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．