Question

已知函數f（x）=asin²x+bsinxcosx滿足f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2
（1）求實數a，b的值以及函數f（x）的最小正周期；
（2）記g（x）=f（x+t），若函數g（x）是偶函數，求實數t的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由已知解a，b的值，從而可求函數解析式為：f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由周期公式即可求解．
（2）由（1）先求得g（x），由函數g（x）是偶函數，可得sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]，即有cos(2t-

π

6

)=0，從而解得實數t的值．

解答： 解：（1）由

f( π 6 )=2 f( 3π 2 )=2

得，

a+ 3 b=8 a=2

解得

a=2 b=2 3

…（3分）
將a=2，b=4

3

代入f（x）=asin²x+bsinxcosx
得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx
所以f（x）=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)…（5分）
所以函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）由（1）得f(x+t)=2sin[2(x+t)-

π

6

]+1，
所以g(x)=2sin(2x+2t-

π

6

)+1…（8分）
函數g（x）是偶函數，則對于任意的實數x，均有g（-x）=g（x）成立．
所以sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]
整理得，cos(2t-

π

6

)sinx=0對于任意的實數x均成立，
只有cos(2t-

π

6

)=0，解得2t-

π

6

=kπ+

π

2

，
所以t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．