Question

【題目】由甲、乙、丙三個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)參加某項(xiàng)闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個(gè)人依次進(jìn)行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個(gè)人．3個(gè)人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團(tuán)隊(duì)進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時(shí)間的頻率分布直方圖．

（1）若甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；

（2）若以解開密碼鎖所需時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時(shí)間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立．

①求該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率；

②該團(tuán)隊(duì)以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均為計(jì)算出中位數(shù)，可得出、的值，再分別計(jì)算甲、乙在分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率值；

（2）①利用獨(dú)立事件概率的乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；

②分別求出先派甲和先派乙時(shí)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，比較它們的大小，即可得出結(jié)論。

（1）甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，

，解得；

，解得；

∴甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；

乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；

（2）由（1）知，甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，

且各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立；

①令“團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)”的事件為，“不能進(jìn)入下一關(guān)”的事件為，

，

∴該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率為；

②設(shè)甲、乙、丙三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率分別p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，

根據(jù)題意知X的取值為1，2，3；

則，， ，

，

，

若交換前兩個(gè)人的派出順序，則變?yōu)?/span>，

由此可見，當(dāng)時(shí)，

交換前兩人的派出順序可增大均值，應(yīng)選概率大的甲先開鎖；

若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，

，

∴交換后的派出順序則變?yōu)?/span>，

當(dāng)時(shí)，交換后的派出順序可增大均值；

所以先派出甲，再派乙，最后派丙，

這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小．