設數(shù)列的前項和為，已知，且

，

其中為常數(shù).

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.

，.


解析:

解：（Ⅰ）由已知，得，，.

由，知

            即

解得    ，.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得  ，             ①

所以         .           ②

②-①，得    ，    ③

所以         .   ④

④-③，得    .

因為         ，

所以         .

又因為       ，

所以         ，

即           ，.

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

方法2

由已知，得，

又，且，

所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.

設，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項和.

于是   ，

由唯一性得   ，即數(shù)列為等差數(shù)列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.

要證       ，

只要證     .

因為       ，，

故只要證   ，

即只要證   .

因為      

          

，

所以命題得證.

練習冊系列答案
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設數(shù)列的前項和為，已知對任意正整數(shù)，都有成立。

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設數(shù)列的前項和為。已知，，。
（Ⅰ）設，求數(shù)列的通項公式；
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