Question

（本小題滿分14分）
已知二次函數(shù)，關于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù).設.
（1）求的值；
（2）R如何取值時，函數(shù)存在極值點，并求出極值點；
（3）若，且，求證：N

Answer 1

（1）（2）當時，取任意實數(shù), 函數(shù)有極小值點；
當時，，函數(shù)有極小值點，有極大值點.
(其中, )
（3）① 當時，左邊，右邊，不等式成立；② 假設當N時，不等式成立，即，
則

  
. 
也就是說，當時，不等式也成立.
由①②可得，對N，都成立.

解析試題分析：（1）解：∵關于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.
∴.
∴.
∴.    
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域為.
∴. 
方程（*）的判別式
.  
①時，，方程（*）的兩個實根為
 
則時，；時，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點.
②當時，由,得或，
若，則
故時，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)沒有極值點. 
若時，
則時，；時，；時，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點，有極大值點.
綜上所述, 當時，取任意實數(shù), 函數(shù)有極小值點；
當時，，函數(shù)