Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a|$\frac{x-1}{x+1}$|（0＜a＜1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷f（x）在定義域上的奇偶性；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x-1}{x+1}$≠0，x+1≠0，解得即可得出函數(shù)f（x）的定義域；計(jì)算f（-x）與±f（x）的關(guān)系，即可判斷出．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的減函數(shù)．利用單調(diào)性的證明方法即可證明．

解答 解：（1）由$\frac{x-1}{x+1}$≠0，x+1≠0，解得x≠±1．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠±1}．
f（-x）=$lo{g}_{a}|\frac{-x-1}{-x+1}|$=-$lo{g}_{a}|\frac{x-1}{x+1}|$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在定義域上是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的減函數(shù)．
證明：?x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$-$lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$lo{g}_{a}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
∵（1-x₁）（1+x₂）-（1+x₁）（1-x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
（1-x₁）（1+x₂）＞0，（1+x₁）（1-x₂）＞0．
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞1．
∴$lo{g}_{a}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了單調(diào)性的證明方法、奇偶性的判定方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．