Question

已知函數f（x）=x³-ax²+10，
（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在區(qū)間[4，6]內至少存在一個實數x，使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=1時，設函數g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）+x-10在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義，求得切線的斜率，進而寫出切線方程；
（Ⅱ）由題意轉化為a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，設g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），利用導數求g（x）的最小值，即可得出結論；
（Ⅲ）把連等式分成兩個不等式x+m-g（x）≥0和f（x）+x-10-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的問題，把不等式的左邊看作一個函數，利用導數求最小值，兩個范圍求交集再由實數m有且只有一個，可求m，進而求t．

解答： 解：（I）當a=1時，f′（x）=3x²-2x，f（1）=10，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=1，
所以曲線曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y+9=0．
（II）有已知得：a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，
設g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），g′（x）=1-

10

x3

，
∵1≤x≤2，∴g′（x）＜0，所以g（x）在[1，2]上是減函數．    
g（x）_min=g（2）=

9

2

，
所以a＞

9

2

．  
（Ⅲ）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵

h

′ 1

(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）時，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）時，h₁（x）＞0
∴x=1時，h′₁（x）取極小值，也是最小值，
∴當h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1時，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同樣，h₂（x）=f（x）+x-10-x-m=x³-x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′₂（x）=3x（x-

2

3

），
∴x∈（0，

2

3

）時，h′₂（x）＜0，x∈（

2

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

2

3

時，h₂（x）取極小值，也是最小值，
∴h₂（

2

3

）=-

4

27

-m≥0，m≤-

4

27

時，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

4

27

，
∵實數m有且只有一個，∴m=-

4

27

，t=-

31

27

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義及利用導數研究函數的單調性、極值、最值等問題，考查學生的等價轉化能力及運算求解能力，屬于難題．