Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸
長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢
圓C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求m的取值范圍； 
（3）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的總額和運(yùn)用。
（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（＞＞0）
由題意，結(jié)合性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值
（2）
設(shè)：由
聯(lián)立方程組，然后根據(jù)判別式大于零得到m的范圍。
（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，
設(shè)MA交軸于點(diǎn)P，MB交軸于點(diǎn)Q
      MA的方程為：
令，可得P（）=
同理得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后結(jié)合中點(diǎn)公式，得到并證明。
解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（＞＞0）
由題意
解得
C的方程為             ………………4分
（2）
設(shè)：由
消去得 
直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
式有兩個(gè)不等實(shí)根
則＞0
解得＜＜2    又
的取值范圍為         ………………8分
（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，
設(shè)MA交軸于點(diǎn)P，MB交軸于點(diǎn)Q
      MA的方程為：
令，可得P（）=
同理可得Q
設(shè)PQ的中點(diǎn)為N，則
由②知
又

MPQ的中線MNPQ
MPQ為等腰三角形                    ………………12分
注：其他正確解法請(qǐng)按步驟酌情給分。