直線與雙曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 

　已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點到漸近線的距離為.

 (1)求雙曲線C的方程;

(2)如圖,P是雙曲線C上一點,A、B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.

若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.


解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,

∴=,即=.

由　得

∴雙曲線C的方程為-x2=1.

(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,

設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P點坐標為,

將P點坐標代入-x2=1,化簡得mn=.

設(shè)∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tan θ=,sin 2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin 2θ

=2mn

=+1,

記S(λ)= +1,λ∈.

則S′(λ)= .

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)= ,

∴當λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當λ=時,

△AOB的面積取得最大值.

∴△AOB面積的取值范圍是.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).

(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個極值點,x3是f(x)的一個零點,且x3≠x1,x3≠x2.證明:存在實數(shù)x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列,并求x4.

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已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|=(　　)

(A)2    (B)4    (C)6    (D)8

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過雙曲線C: -=1(a>0,b>0)的一個焦點作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標原點),則雙曲線C的離心率為　　　　. 

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已知雙曲線x2-=1(b>0)的一條漸近線的方程為y=2x,則b=　　　　. 

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已知雙曲線-=1(a>0,b>0),過其右焦點F且垂直于實軸的直線與雙曲線交于M,N兩點,O為坐標原點.若OM⊥ON,則雙曲線的離心率為(　　)

(A) (B)

(C) (D)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知F1,F2為雙曲線Ax2-By2=1的焦點,其頂點是線段F1F2的三等分點,則其漸近線的方程為(　　)

(A)y=±2x      (B)y=±x

(C)y=±x            (D)y=±2x或y=±x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是(　　)

(A)   (B)   (C)   (D)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為(　　)

(A) - =1 (B) -=1

(C) -=1 (D) -=1

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