【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)求關(guān)于x的不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0的解集.
【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)镽,
因?yàn)閒(x)= = = = ,
所以f(﹣x)= = ,
則f(x)+f(﹣x)= + =0,
所以f(x)是奇函數(shù)
(2)解:函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù),
由(1)得,f(x)= ,
設(shè)任意x1,x2∈R,且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)= ﹣( )
= = ,
∵x1<x2,∴ ,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù)
(3)解:由(1)得f(x)是奇函數(shù),
∴不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0等價(jià)于f(2x﹣1)>f(﹣x﹣3),
∵函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù),
∴2x﹣1<﹣x﹣3,解得x< ,
∴不等式的解集是(﹣∞, )
【解析】(1)求出函數(shù)的定義域,利用指數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)f(x)、f(﹣x),由函數(shù)奇偶性的定義判斷出奇偶性;(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f(x)的單調(diào)性,利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟:取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明;(3)由奇函數(shù)的性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0,由單調(diào)性列出不等式求出解集.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 =(sinx,sin(x﹣ )), =(sinx,cos(x+ )),f(x)= .
(1)求f(x)的解析式及周期;
(2)求f(x)在x∈[﹣ , ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題:“x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合B;
(2)設(shè)不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集為A,若x∈A是x∈B的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)設(shè)bn=.證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2﹣x
(1)求f(x)的解析式;
(2)畫出f(x)的圖象;
(3)若方程f(x)=k有4個(gè)解,求k的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,直線: ,橢圓: , 、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于, 兩點(diǎn), , 的重心分別為, ,若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面, , , 是棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面⊥平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn). 的重心為,內(nèi)心為,且,則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某地一天中6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(其中 ),那么這一天6時(shí)至14時(shí)溫差的最大值是°C;與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 .
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