Question

11．如圖，河的兩岸，分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F(xiàn)三點共線，F(xiàn)D與BA的延長線交于點O，測得AB=3km，BC=4km，DF=$\frac{9}{4}$km，F(xiàn)E=3km，EC=$\frac{3}{2}$km．若以O(shè)A，OD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系xoy，則河岸DE可看成是曲線y=$\frac{x+b}{x+a}$（其中a，b為常數(shù)）的一部分，河岸AC可看成是直線y=kx+m（其中k，m為常數(shù)）的一部分．
（1）求a，b，k，m的值；
（2）現(xiàn)準備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MN⊥AC，設(shè)點M的橫坐標為t．
①請寫出橋MN的長l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式l=f（t），并注明定義域；
②當t為何值時，l取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出D、E、A、C點的坐標，代入函數(shù)的解析式，從而求出a，b，k，m的值即可；
（2）①先表示出M點的坐標，問題轉(zhuǎn)化為求M到直線AC的距離即可；②由基本不等式的性質(zhì)求出最小值即可．

解答 解：（1）由題意得：OD=BC=4，OB=FC，
∴D（0，$\frac{7}{4}$），E（3，4），A（$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{9}{2}$，4），
把D（0，$\frac{7}{4}$），E（3，4）代入y=$\frac{x+b}{x+a}$
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}=\frac{7}{4}}\\{\frac{3+b}{3+a}=4}\end{array}\right.$，解得：a=-4，b=-7，
把A（$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{9}{2}$，4）代入y=kx+m
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+m=0}\\{\frac{9}{2}k+m=4}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{4}{3}$，m=-2；
（2）由（1）得：M點在y=$\frac{x-7}{x-4}$上，
∴M（t，$\frac{t-7}{t-4}$），t∈[0，3]，
①橋MN的長l為MN到直線y=$\frac{4}{3}$x-2的距離，
故l=f（x）=$\frac{|4t-\frac{3（t-7）}{t-4}-6|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$|4t+$\frac{9}{t-4}$-9|，t∈[0，3]；
②由①得：f（t）=$\frac{1}{5}$|4t+$\frac{9}{t-4}$-9|=$\frac{1}{5}$|4（t-4）+$\frac{9}{t-4}$+7|，
而t-4＜0，$\frac{9}{t-4}$＜0，
∴4（t-4）+$\frac{9}{t-4}$≤-2$\sqrt{4（t-4）•\frac{9}{t-4}}$=-12，
當且僅當4（t-4）=$\frac{9}{t-4}$時即t=$\frac{5}{2}$“=”成立，
∴f（t）_min=$\frac{1}{5}$|-12+7|=1．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式問題，考查點到直線的距離公式，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．