Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（2，-6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令它大于0，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令它小于0，即可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³-3t），利用導(dǎo)數(shù)求出在x=t處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0即3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，
由f'（x）＜0即3x²-3＜0，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³-3t），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點(diǎn)P（2，-6），∴-6-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化簡(jiǎn)得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切線的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題．