Question

討論函數(shù)f（x）=axe-x（a≠0）在區(qū)間[2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，則函數(shù)f（x）是由函數(shù)y=ae^u，與函數(shù)u═e^-xlnx復(fù)合而成，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，則函數(shù)f（x）是由函數(shù)y=ae^u，與函數(shù)u═e^-xlnx復(fù)合而成，
∵u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx），
∵（

1

x

-lnx）′=-

1

x2

-

1

x

在[2，+∞）上恒為負值，∴（

1

x

-lnx）在[2，+∞）上遞減，
∵（

1

x

-lnx）＜

1

2

-ln2=

1-2ln2

2

=

1-ln4

2

＜0，∴u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx）＜0，
∴函數(shù)u═e^-xlnx在[2，+∞）上遞減，
∵當a＞0時，函數(shù)y=ae^u遞增，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減；
∵當a＜0時，函數(shù)y=ae^u遞減，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞增．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同時把函數(shù)的表達式恒等變形是解題的關(guān)鍵．