Question

已知平面上一定點(diǎn)C（2，O）和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且．
（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）若EF為圓N：x²+（y-1）²=1的任一條直徑，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得4²=²．設(shè)P（x，y），則Q（8，y），運(yùn)用距離公式化簡(jiǎn)可得3x²+4y²=48，整理得+=1，由此可得點(diǎn)P的軌跡是以（±2，0）為焦點(diǎn)的橢圓；
（2）根據(jù)題意，得|NE|=|NF|=1且=-，由此化簡(jiǎn)得=-1，根據(jù)橢圓方程與兩點(diǎn)的距離公式，求出當(dāng)P的縱坐標(biāo)為-3時(shí)的最大值為20，由此即得=-1的最大值為19．
解答：解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為P（x，y），則Q（8，y）
∵，得：4²=²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化簡(jiǎn)得3x²+4y²=48，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為+=1，此曲線是以（±2，0）為焦點(diǎn)的橢圓；
（2）∵EF為圓N的直徑，∴|NE|=|NF|=1，且=-
∴=（）•（）=（）•（）=-1
∵點(diǎn)P為橢圓+=1上的點(diǎn)，滿足x²=16-
∵N（1，0），∴=x²+（y-1）²=-（y+3）²+20
∵橢圓+=1上點(diǎn)P縱坐標(biāo)滿足 y∈[-2，2]
∴當(dāng)y=-3時(shí)，的最大值為20，故=-1的最大值等于19．
點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，求其方程并研究向量數(shù)量積的最大值，著重考查了向量的數(shù)量積、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與圓等知識(shí)，屬于中檔題．