Question

下列結(jié)論一定正確的是（　�。�

• A、y=sin2x+

  4

  sin2x

  的最小值為4
• B、y=x+

  4

  x

  的最小值為4
• C、x²+3＞3x恒成立
• D、若

  1

  x

  ＜1，則x＞1

Answer 1

分析：對(duì)于A，觀察題設(shè)條件需要對(duì)表達(dá)式換元，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再新解析式下求最值，不要忘記等號(hào)成立的條件，對(duì)于B，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)沒(méi)有最小值，對(duì)于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，對(duì)于D，若

1

x

＜1，則x＞1或x＜0，從而選出正確選項(xiàng)．

解答：解：令sin²x=t∈（0，1]則函數(shù)y=sin2x+

4

sin2x

=t+

4

t

，t∈（0，1]
∵t+

4

t

≥4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

時(shí)成立，即t=±2，但t∈（0，1]，
故y=sin2x+

4

sin2x

的最小值不能為4，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)沒(méi)有最小值，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，故x²+3＞3x恒成立，正確；
對(duì)于D，若

1

x

＜1，則x＞1或x＜0，故錯(cuò)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是不等式求最值，求解上要注意變換形式的作用，換元最大的好處是形式簡(jiǎn)單便于觀察解題的方向．