Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）過P作PO⊥平面ABC，交AD于O，連接OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角，由此能求出直線PC與平面ABC所成角的正弦值．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面APC的一個(gè)法向量和平面ABP的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AP-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）過P作PO⊥平面ABC，交AD于O，連接OC，
由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角，
設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD
因?yàn)锳B=BC=CA，
所以CD⊥AB，
因?yàn)椤螦PB=90°，∠PAB=60°，
所以△PAD為等邊三角形，不妨設(shè)PA=2，
則OD=1，OP=

3

，AB=4
所以CD=2

3

，OC=

OD2+CD2

=

1+12

=

13

，
PC=

OC2+OP2

=

13+3

=4，
在Rt△OCP中，sin∠OCP=

OP

PC

=

3

4

．
故直線PC與平面ABC所成角的正弦值為

3

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．
則

AP

=（1，0，

3

），

AC

=（2，2

3

，0），
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n • AP =x+ 3 z=0 n • AC =2x+2 3 y=0

，
取x=-

3

，則y=1，z=1，所以

n

=（-

3

，1，1）
設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，由題意知β為銳角
而面ABP的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0），
則cosβ=|

n • m

| n |•| m |

=|

1

3+1+1

|=

5

5

故二面角B-AP-C的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，涉及到線線、線面、面面平行、垂直的性質(zhì)及應(yīng)用，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用，是中檔題．