Question

已知f（log₂x）=

ax+b

x+ 2

（a∈R，x＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）判斷并用單調(diào)性定義證明函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，令log₂x=t，則x=2^t，f（t）=

a2t+b

2t+ 2

，以x代t，得y=f（x）=

a2x+b

2x+ 2

，x∈R．
（2）利用定義，按照取值，作差，比較f（x₁）與f（x₂）大小關(guān)系，做出解答．

解答： 解：（1）∵f（log₂x）=

ax+b

x+ 2

，令log₂x=t，則x=2^t，∵x＞0，∴t∈R，
∴f（t）=

a2t+b

2t+ 2

，
以x代t，得y=f（x）=

a2x+b

2x+ 2

，x∈R．
（2）設(shè)x₁，x₂，是R上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

( 2 a-b)(2x1-2x2)

(2x1+ 2 )(2x2+ 2 )

，∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，
當b＞

2

a時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)y=f（x）在R上是減函數(shù)，
當b=

2

a時，f（x₁）-f（x₂）=0，f（x₁）=f（x₂），函數(shù)y=f（x）在R上是常函數(shù)，
當b＜

2

a時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)y=f（x）在R上是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的概念以及解析式表示函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查換元法，分類討論的思想方法．