已知函數(shù)函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
（1）求f（0）的值
（2）證明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)
（3）若f（x）=x（0＜x≤1），求x∈R時，函數(shù)f（x）的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)f（x）至少一個周期的圖象．
【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），令x=0 可得f（0）=0．
（2）根據(jù)f（-x）=-f（x），再由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（-x）=f（2+x），可得f（2+x）=-f（x），從而得到 f（4+x）=f（x），從而結(jié)論成立．
（3）由條件求出當(dāng)-1≤x≤1時f（x）=x，當(dāng)1＜x＜3時，則-1＜2-x＜1，可得f（2-x）=2-x，而函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．
從而得到f（x）在一個周期內(nèi)的解析式，從而得到f（x）在定義域內(nèi)的解析式，從而畫出函數(shù)的圖象．
解答：（1）解：因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），又f（x）的定義域為R，令x=0，則f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．
（2）證明：因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f（-x）=f（2+x），即f（2+x）=-f（x）．
所以f（4+x）=-f（2+x）=f（x），即f（x）是以4為一個周期的周期函數(shù)．
（3）解：設(shè)-1≤x＜0時，則0＜-x≤1，所以f（-x）=-x． 又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，
所以，當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x．
當(dāng)1＜x＜3時，-3＜-x＜-1，則-1＜2-x＜1． 所以f（2-x）=2-x，而函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x． 所以f（x）=．
再由f（x）是以4為一個周期的周期函數(shù)，從而有f（x）=，（k∈Z）．
如圖所示：

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，求函數(shù)解析式得方法，求出1＜x＜3時，函數(shù)解析式為f（x）=2-x，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當(dāng)a=-2時，f（x）在區(qū)間(
14
，+∞)上為減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，函數(shù)g（x）=x3+x2[
m2
+f′(x)]在區(qū)間（2，3）上總存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=2sinx，x∈[0，
π
2
]，試寫出f1（x），f2（x）的表達式，并判斷f（x）是否為[0，
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應(yīng)的k的值；如果不是，請說明理由；
（2）已知b＞0，函數(shù)g（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[
π
8
，
3π
4
]上的最小值與最大值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移
π
8
個單位，再沿y軸負方向平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x），任取t∈R，定義集合：At={y|y=f（x）}，點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤
2
．設(shè)Mt，mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值，記h（t）=Mt-mt．則
（1）若函數(shù)f（x）=x，則h（1）=
2
2
；
（2）若函數(shù)f（x）=sin
π
2
x，則h（t）的最小正周期為
2
2
．

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