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設定義在R上的函數f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），當x=-1時f（x）取得極大值
2
3
，且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）試在函數y=f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間[-
2
，
2
]上．
（1）將函數y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位，得到函數y=f（x）的圖象，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=a1x3+a3x
∴f′（x）=3a1x2+a3
由題意得：
f′(-1)=3a1+a3=0
f (-1)=-a1-a3=
2
3

所以
a1=
1
3
a3=-1
，f(x)=
1
3
x3-x經檢驗滿足題意
（2）由（1）可得f′（x）=x2-1
故設所求兩點為(x1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-
2
，
2
])
f′（x1）•f′（x2）=（x12-1）（x22-1）=-1
∵x12-1，x22-1∈[-1，1]
∴
x22
-1=-1
x21
-1=-1
或
x21
-1=1
x22
-1=-1

x1= 0
x2=±
2
或
x1=±
2
x2= 0

∴滿足條件的兩點的坐標為：
（0，0），(
2
，-
2
3
)或(0，0)  ，(-
2
，-
2
3
)
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠
π
2
時，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數的底數，m是常數）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點個數為n，則（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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