Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=

1 x-2 (x＞2) 1 2-x (x＜2) 1 (x=2)

，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則x₁²+x₂²+x₃²=

 

．

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答：解：作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．
故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
即解分別是1，2，3．
故x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
故填：14．

點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．