Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=，x∈[，2]．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定f（x）在[，2]上是增函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值g（a）．
解答：解：（1）a=1，求導(dǎo)函數(shù)可得
∵x∈[，2]，
∴f（x）在[，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的值域?yàn)閇]；
（2），x∈[，2]，
①時(shí)，x³-a≥0，f′（x）≥0，∴f（x）在[，2]上是增函數(shù)，
∴；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[]上，f′（x）＜0，∴f（x）在[]上是減函數(shù)，在[]上，f′（x）＞0，∴f（x）在[]上是增函數(shù)，
∴g（a）==；
③當(dāng)a≥8時(shí)，f′（x）≤0，∴f（x）在[]上是減函數(shù)，∴g（a）=f（2）=
∴g（a）=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)單調(diào)單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．