Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：CD⊥PD；   
（2）求證：EF∥平面PAD；
（3）若直線EF⊥平面PCD，那么=？

Answer 1

【答案】分析：（1）證明PA⊥CD，AD⊥CD，證得CD⊥平面PAD，從而有CD⊥PD．
（2）取CD的中點G，由FG是三角形CPD的中位線，可得 FG∥PD，再由舉行的性質(zhì)得 EG∥AD，證明平面EFG∥平面PAD，從而證得EF∥平面PAD．
（3）由條件可得，∠PDA=∠EGF，設(shè)PA=x，AD=y，由于tan∠PDA==，tan∠EGF==，得到=，化簡得 ，解方程求得的值．
解答：解：（1）證明：∵側(cè)棱PA垂直于底面，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
這樣，CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD的中點G，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴FG是三角形CPD的中位線，
∴FG∥PD，F(xiàn)G∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（3）∵直線EF⊥平面PCD，∴EF⊥FG．設(shè)PA=x，AD=y，則 PD=．
由于∠PDA 和∠EGF的兩邊分別平行，故∠PDA=∠EGF． EF===，
∵tan∠PDA==，tan∠EGF===，
∴=，∴x⁴+2x²y²-3y⁴=0，∴，
∴=-3（舍去），或  =1，∴=1，即 =1．
點評：本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，以及求線段長度之比，判斷∠PDA=∠EGF 是解題的關(guān)鍵．