在△ABC中,D為BC中點(diǎn),若cos∠BAD=
2
5
5
,cos∠CAD=
3
10
10
,則
AC
AD
=
 
考點(diǎn):余弦定理
專(zhuān)題:解三角形
分析:由cos∠BAD與cos∠CAD的值求出sin∠BAD與sin∠CAD的值,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式求出cos∠BAC的值,確定出∠BAC的度數(shù),由D為BC的中點(diǎn),利用等底同高的兩個(gè)三角形面積相等得到三角形ABD與三角形ACD面積相等,利用三角形面積公式列出關(guān)系式,整理得到AC=
2
AB,在三角形ABC中,利用余弦定理列出關(guān)系式,整理得到AB=BC,即三角形ABC為等腰直角三角形,進(jìn)而求出AC與AD的長(zhǎng),即可求出所求之比.
解答: 解:∵cos∠BAD=
2
5
5
,cos∠CAD=
3
10
10
,
∴sin∠BAD=
5
5
,sin∠CAD=
10
10

∴cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=
2
5
5
×
3
10
10
-
5
5
×
10
10
=
2
2
,
∴∠BAC=45°,
由D為BC的中點(diǎn),得到S△ABD=S△ACD,即
1
2
AB•ADsin∠BAD=
1
2
AC•ADsin∠CAD,
整理得:AC=
2
AB,
在△ABC中,利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC=AB2+2AB2-2AB2,即BC=AB,
∴△ABC為等腰直角三角形,即∠ABC=90°,
設(shè)AB=BC=2,則有BD=CD=1,AD=
5
,AC=2
2
,
AC
AD
=
2
2
5
=
2
10
5

故答案為:
2
10
5
點(diǎn)評(píng):此題考查了余弦定理,三角形面積公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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2
,
2
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y
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