Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

(a+1)x

x+1

，其中a≥0
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）在其定義域上的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=lnx-

2x

x+1

求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，可得切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求出函數(shù)的導數(shù)，通過①當a=0時，②當a＞0時，構造g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞）），利用△的符號推出a的范圍，得到函數(shù)的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=lnx-

2x

x+1

，f/(x)=

1

x

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x

-

2

(x+1)2

…（2分）
∴f/(1)=1-

1

2

=

1

2

，又f（1）=-1∴切線方程為y-(-1)=

1

2

(x-1)，
即y=

1

2

x-

3

2

…（5分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f/(x)=

a

x

-

(a+1)(x+1)-(a+1)x

(x+1)2

=

ax2+(a-1)x+a

x(x+1)2

…（6分）
①當a=0時，f/(x)=-

x

x(x+1)2

=-

1

(x+1)2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減 …（7分）
②當a＞0時，設g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞））
（a）當△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1≤0，
即a≥

1

3

時，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增         …（9分）
（b）當△=-3a²-2a+1＞0即0＜a＜

1

3

時，由g（x）=0得x=

1-a± -3a2-2a+1

2a

，
∵（1-a）²-（-3a²-2a+1）=4a²＞0，
∴0＜x1=

1-a- -3a2-2a+1

2a

＜x2=

1-a+ -3a2-2a+1

2a

，
∴當x∈（0，x₁）和（x₂，+∞）時，f′（x）≥0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴f（x）單調遞增區(qū)間為（0，x₁）和（x₂，+∞），
f（x）單調遞減區(qū)間為（x₁，x₂）…（12分）
綜上，當a=0時，f（x）單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當0＜a＜

1

3

時，f（x）單調遞增區(qū)間為（0，x₁）和（x₂，+∞），單調遞減區(qū)間為（x₁，x₂）；
當a≥

1

3

時，f（x）單調遞增區(qū)間為（0，+∞）…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查分類討論以及構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．