Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:,設(shè)是橢圓上的任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點，.

（1）若直線，互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）（2）詳見解析（3）定值為36

【解析】

試題分析：（1）因為直線，互相垂直，且和圓相切，這是一個較特殊的情況，此時，即，又點在橢圓上，所以，解得所以所求圓的方程為．（2）是一般情況，則從直線與圓相切關(guān)系出發(fā)，即利用圓心到切線距離等于半徑建立等量關(guān)系：因為直線： 與圓相切，所以,化簡得，同理：滿足，所以是方程的兩個不相等的實數(shù)根，，因為點在橢圓C上，所以，即，所以，即．（3）探求定值問題，可從斜率或點坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)，利用斜率表示出點P,Q的坐標(biāo)，進(jìn)行化簡即得. 當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè),由得，所以，同理，得，由，所以，當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時,顯然有.

試題解析：（1）由圓的方程知，圓的半徑的半徑，

因為直線，互相垂直，且和圓相切，

所以，即，① 1分

又點在橢圓上，所以，② 2分

聯(lián)立①②，解得 3分

所以所求圓的方程為． 4分

（2）因為直線：，：，與圓相切，

所以,化簡得 6分

同理， 7分

所以是方程的兩個不相等的實數(shù)根，

8分

因為點在橢圓C上，所以，即，

所以，即． 10分

（3）是定值，定值為36， 11分

理由如下：

法一：(i)當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè),

聯(lián)立解得 12分

所以，同理，得， 13分

由，

所以

15分

(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時,顯然有，

綜上：． 16分

法二：(i)當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè),

因為，所以,即， 12分

因為在橢圓C上，所以，

即， 13分

所以，整理得，

所以，

所以． 15分

(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時,顯然有，

綜上：． 16分

考點：直線與橢圓位置關(guān)系