Question

試討論函數f(x)=log_a(a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的單調性,并予以證明.

Answer 1

解析:本題考查復合函數單調性的判定方法,判定的法則是同增異減,判定的關鍵是分清函數的復合過程.

解:設u=,任取x₂＞x₁＞1,則

u₂-u₁=

∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁-1＞0,x₂-1＞0.

又∵x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0.

∴＜0,即u₂＜u₁.

當a＞1時,y=log_ax是增函數,

∴l(xiāng)og_au₂＜log_au₁,即f(x₂)＜f(x₁);

當0＜a＜1時,y=log_ax是減函數,∴l(xiāng)og_au₂＞log_au₁,即f(x₂)＞f(x₁).

綜上可知,當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;

當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數.

答案：當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;

當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數.