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（1）證明函數y=f(x)=
x
1+x2
在（-1，1）上是增函數．（2）試討論函數f(x)=
kx
1+x2
在（-1，1）上的單調性．
分析：（1）對f（x）求導，解得f′（x）＞0在（-1，1）上成立，所以f（x）在（-1，1）上是增函數．
（2）解得f′（x）=
k(1-x2)
(1+x2)2
，由（1）得知
1-x2
(1+x2)2
＞0，只需對k進行討論，判斷f′（x）與0的大小關系，從而得到f（x）在（-1，1）上的單調性．
解答：解；（1）∵f（x）=
x
1+x2
∴f′（x）=
1-x2
(1+x2)2

∵-1＜x＜1∴1-x2＞0
∴f′（x）＞0
即f（x）在（-1，1）上是增函數．
（2）∵f（x）=
kx
1+x2
∴f′（x）=
k(1-x2)
(1+x2)2
，
由（1）得知
1-x2
(1+x2)2
＞0，
對k進行討論：
當k=0時，f（x）=0；即f（x）在（-1，1）上不具有單調性；
當k＜0時，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，1）上為減函數；
當k＞0時，f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上為增函數．
點評：本題比較簡單，考查利用導數研究函數的單調性，屬于函數這一章節(jié)的基礎知識，應熟練掌握其方法步驟．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R)，
（1）證明函數y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱圖形；
（2）當x∈[a+1，a+2]時，求證：f（x）∈[-2，-
3
2
]；
（3）我們利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述構造數列的過程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定義域中，構造數列的過程將繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構造數列的過程停止．
（i）如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn}，求實數a的取值范圍；
（ii）如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}，求實數a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）證明函數y=f（x）是R上的單調性；
（2）討論函數y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x2-2）+f（x）＜0，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河南省高三上學期第一次月考理科數學卷 題型：解答題

（12分）已知函數f (x) =，.

    （1）證明函數y = f (x)的圖象關于點(a，－1)成中心對稱圖形；

    （2）當x時，求證：f (x).

 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R)，
（1）證明函數y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱圖形；
（2）當x∈[a+1，a+2]時，求證：f（x）∈[-2，-
3
2
]；
（3）我們利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述構造數列的過程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定義域中，構造數列的過程將繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構造數列的過程停止．
（i）如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn}，求實數a的取值范圍；
（ii）如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}，求實數a的值

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