Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+ax²，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍；
（ III）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx+x-e^x+1，當(dāng)a=0時(shí)，證明f（x）-g（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出a的范圍即可；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）-g（x）=（x-1）e^x+e^x-lnx-x-1．設(shè)h（x）=xe^x-lnx-x-1，其定義域?yàn)椋?，+∞），只需證明h（x）＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=xe^x+x²，
因?yàn)閒'（x）=xe^x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，
則所求的切線方程為y-1=（e+2）（x-1）．
化簡(jiǎn)得：y=（e+2）x-e-1．…（3分）
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=x（e^x+2a）
①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）e^x只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0，函數(shù)當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；
函數(shù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（0）=-1，f（1）=a，
因?yàn)閤＜0，所以x-1＜0，e^x＜1，所以e^x（x-1）＞x-1，所以g（x）＞ax²+x-1
取${x_0}=\frac{{-1-\sqrt{1+4a}}}{2a}$，顯然x₀＜0且g（x₀）＞0
所以f（0）f（1）＜0，f（x₀）f（0）＜0．
由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=x（e^x+2a）=0，得x=0，或x=ln（-2a）．
若$a≥-\frac{1}{2}$，則ln（-2a）≤0．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）至多有一個(gè)零點(diǎn)．
又當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上沒(méi)有零點(diǎn)．
所以函數(shù)f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
若$a＜-\frac{1}{2}$，則ln（-2a）＞0．當(dāng)（ln（-2a），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（ln（-2a），+∞）至多有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（0，ln（-2a））時(shí)，f'（x）＜0；
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單增，（0，ln（-2a））上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-2a））上的最大值為f（0）=-1＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-2a））上沒(méi)有零點(diǎn)．
所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，a的取值范圍是（0，+∞）．…（9分） 
（ III）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）-g（x）=（x-1）e^x+e^x-lnx-x-1．
設(shè)h（x）=xe^x-lnx-x-1，其定義域?yàn)椋?，+∞），則證明h（x）＞0即可．
因?yàn)?h'（x）=（x+1）{e^x}-\frac{x+1}{x}$，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．
又因?yàn)?h''（x）=（x+2）{e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以函數(shù)h'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h'（x）=0有唯一的實(shí)根x₀∈（0，1），且${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$．
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h'（x）＜0；當(dāng)x＞x₀時(shí)，h'（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）的最小值為h（x₀）．
所以$h（x）≥h（{x_0}）={x_0}{e^{x_0}}-ln{x_0}-{x_0}-1$=1+x₀-x₀-1=0．
所以f（x）-g（x）≥0．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．