Question

下列命題：
①△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
②若A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則

4

A

+

1

B+C

的最小值為

9

π

③已知an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為

19

3

；
④若函數(shù)f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，則

f(a)

a

＜

f(b)

b

＜

f(c)

c

；
⑤函數(shù)f(x)=

x2-2x+5

+

x2-4x+13

的最小值為

29

．
其中所有正確命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：①先有正弦定理判斷出sinA與sinB的大小關(guān)系，然后再利用余弦的倍角公式展開進(jìn)行化簡(jiǎn)討論．
②先利用A+B+C=π，進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用基本不等式進(jìn)行證明．
③將數(shù)列轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行判斷．
④構(gòu)造函數(shù)

f(x)

x

，轉(zhuǎn)化為斜率的大小進(jìn)行判斷．
⑤先配方，將根式轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離之和的最小值來求．

解答：解：①①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①錯(cuò)誤．
②因?yàn)锳+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以

α+β

π

=1，原式等價(jià)為

4

α

+

1

β

=(

4

α

+

1

β

)?1=(

4

α

+

1

β

)(

α+β

π

)=

1

π

(5+

α

β

+

4β

α

)≥

1

π

(5+2

α β ? 4β α

)=

9

π

，當(dāng)且僅當(dāng)

α

β

=

4β

α

，即α=2β時(shí)取等號(hào)．所以②正確．
③因?yàn)?span id="fdrbrln" class="MathJye">an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

=2+sin?

nπ

6

+

16

2+sin? nπ 6

-2，因?yàn)?span id="xhvhfzr" class="MathJye">1≤2+sin?

nπ

6

≤3，所以設(shè)t=2+sin?

nπ

6

，則1≤t≤3．因?yàn)楹瘮?shù)y=t+

16

t

-2在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，所以在[1，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)有最小值3+

16

3

-2=

19

3

，則對(duì)應(yīng)數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為

19

3

，所以③正確．
④令g（x）=

f(x)

x

，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的大�。�由題意可知

f(a)

a

，

f(b)

b

，

f(c)

c

分別看作函數(shù)f（x）=log₂（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知

f(a)

a

＞

f(b)

b

＞

f(c)

c

，所以④錯(cuò)誤．
⑤原式可化簡(jiǎn)為f(x)=

(x-1)2+4

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-2)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，設(shè)點(diǎn)P（x，0），A（1，2），B（2，3），
則原式等價(jià)為|PA|+|PB|的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（1，-2）．則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=

(2-1)2+(-2-3)2

=

1+25

=

26

．所以⑤錯(cuò)誤．
所有正確命題的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，以及對(duì)復(fù)雜問題，要根據(jù)幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思路．對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力都有很高的要求，這類問題的難度較大，綜合性較強(qiáng)．