Question

下列命題：
①△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
②若A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則的最小值為
③已知（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}中的最小項為；
④若函數(shù)f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，則；
⑤函數(shù)的最小值為．
其中所有正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①先有正弦定理判斷出sinA與sinB的大小關(guān)系，然后再利用余弦的倍角公式展開進行化簡討論．
②先利用A+B+C=π，進行化簡，然后利用基本不等式進行證明．
③將數(shù)列轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式，然后利用基本不等式進行判斷．
④構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為斜率的大小進行判斷．
⑤先配方，將根式轉(zhuǎn)化為兩點間距離之和的最小值來求．
解答：解：①①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①錯誤．
②因為A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以，原式等價為=，當(dāng)且僅當(dāng)，即α=2β時取等號．所以②正確．
③因為=，因為，所以設(shè)，則1≤t≤3．因為函數(shù)在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，所以在[1，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=3時，函數(shù)有最小值，則對應(yīng)數(shù)列{a_n}中的最小項為，所以③正確．
④令g（x）=，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點與原點連線斜率的大小．由題意可知分別看作函數(shù)f（x）=log₂（x+1）圖象上的點（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點連線的斜率，由圖象可知，所以④錯誤．
⑤原式可化簡為，設(shè)點P（x，0），A（1，2），B（2，3），
則原式等價為|PA|+|PB|的最小值，找出點A關(guān)于x軸的對稱點D（1，-2）．則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為．所以⑤錯誤．
所有正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．
點評：本題重點考查了基本不等式的應(yīng)用，以及對復(fù)雜問題，要根據(jù)幾何意義進行轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思路．對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力都有很高的要求，這類問題的難度較大，綜合性較強．