Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是邊長為6的等邊三角形，D，E分別為AA1，BC的中點．

（1）證明：AE//平面BDC1；

（2）若異面直線BC1與AC所成角的余弦值為．求DE與平面BDC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先證明四邊形ADFE為平行四邊形，則AE∥DF，由此即可得證；

（2）以點E為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝2t（t＞0），根據(jù)已知條件可求得，進而求得平面BDC1的法向量以及直線DE的方向向量，再利用向量公式求解．

（1）證明：取BC1的中點F，連接DF，EF，

∵E為BC中點，

∴∥，

又∵D為AA1的中點，

∥，，

∴∥，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，

∴AE∥DF，

∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，

∴AE∥平面BDC1；

（2）由（1）及題設(shè)可知，BC，EA，EF兩兩互相垂直，則以點E為坐標(biāo)原點，EC，EA，

EF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA1＝2t（t＞0），則，

所以，

故

解得，

設(shè)平面BDC1的法向量為

由，得，

令，則，

又，

所以，

設(shè)DE與平面BDC1所成角為，

則，

∴DE與平面BDC1所成角的正弦值為.