Question

由原點(diǎn)O向三次曲線y=x³－3ax²＋b x (a≠0)引切線,切于不同于點(diǎn)O的點(diǎn)，再由P₁引此曲線的切線，切于不同于的點(diǎn),如此繼續(xù)地作下去，……,得到點(diǎn)列{ },試回答下列問題:

(1)求x₁;

(2)求x _n與x _n+1的關(guān)系;

(3)若a>0,求證:當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), x _n<a;當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí), x _n>a.

Answer 1

答案：
解析：

；x n＋2xn+1－3a=0. (1)由y=x3－3ax2＋b x, ① 得y′=3x2－6ax＋b. 過曲線①上點(diǎn)P1(x1, y1)的切線l1的方程是 由它過原點(diǎn),有 (2)過曲線①上點(diǎn)Pn+1(xn+1,yn+1)的切線ln+1的方程是 由ln+1過曲線①上點(diǎn)P n(x n, yn),有 ∵x n－xn+1≠0,以x n－xn+1除上式,得 以x n－xn+1除之,得x n＋2xn+1－3a=0. (3)法1 由(2)得 故數(shù)列{x n－a}是以x 1－a=為首項(xiàng),公比為－的等比數(shù)列, ∵a>0,∴當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí), 解法2 = = =…… = = =.以下同解法1.