Question

由原點(diǎn)O向三次曲線y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切線，切于不同于點(diǎn)O的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲線的切線，切于不同于P₁的點(diǎn)P₂（x₂，y₂），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點(diǎn)列{P_n（x_n，y_n）}，試回答下列問題：
（1）求x₁；
（2）求x_n與x_n+1的關(guān)系；
（3）若a＞0，求證：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，x_n＜a；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x_n＞a．

Answer 1

分析：（1）向三次曲線y=x³-3ax²+bx （a≠0），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，求出切線l₁的方程，根據(jù)其過點(diǎn)（0，0），可以求出x₁；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與直線的斜率的關(guān)系，再求點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程，這個(gè)切線方程過點(diǎn)P_n（x_n，y_n），代入可得x_n與x_n+1的關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）已知的x_n與x_n+1的關(guān)系，遞推關(guān)系，將其湊為等比數(shù)列，其實(shí)n分為奇偶，從而進(jìn)行證明；

解答：解：（1）由y=x³-3ax²+bx…①，得y′=3x²-6ax+b
過曲線①上的點(diǎn)P（x₁，y₁）的切線l₁的方程是
y-（

x

3 1

-3a

x

2 1

+bx₁）=（3

x

2 1

-6ax₁+b）（x-x₁），（x₁≠0）
由它過原點(diǎn)，有-

x

3 1

+3a

x

3 1

-bx₁=-x₁（3

x

2 1

-6ax₁+b），
2

x

3 1

=3a

x

2 1

（x₁≠0），∴x₁=

3a

2

；
（2）過曲線①上點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程是，
y-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x-x_n+1），
由l_n+1過曲線①上點(diǎn)P_n（x_n，y_n），有

x

3 n

-3a

x

2 n

+bx_n-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x_n-x_n+1），
∵x_n-x_n+1≠0，以x_n-x_n+1除上式，得

x

2 n

+x_nx_n+1+

x

2 n+1

-3a（x_n+x_n+1）+b=3x²_n+1-6ax_n+1+b，

x

2 n

+x_nx_n+1-2

x

2 n+1

-3a（x_n-x_n+1）=0，以x_n-x_n+1除之，得
x_n+2x_n+1-3a=0，
（3）由（2）得xn+1=-

1

2

xn+

3

2

a，
∴xn+1-a=-

1

2

(xn-a)．
故數(shù)列{x _n-a}是以x ₁-a=

a

2

為首項(xiàng)，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．
∵a＞0，
∴當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1-(

1

2

)n]a＜a；
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1+(

1

2

)n]a＞a．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，難度有些大，還考查導(dǎo)數(shù)與直線斜率的關(guān)系，還考查分類討論的思想，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道難題；