Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，數(shù)列{a_n} （n∈N^*）的各項都是整數(shù)，其前n項和為S_n，若點（a_2n-1，a_2n）在函數(shù)y=f（x）或y=g（x）的圖象上，且當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=，則
（1）S₈=________；
（2）S_4n=________．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，點（a_2n-1，a_2n）在函數(shù)y=f（x）或y=g（x）的圖象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
當(dāng)a_2n=2a_2n-1-1時，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，∴a_2n-1=，
∵數(shù)列{a_n} （n∈N^*）的各項都為整數(shù)，
∴n為奇數(shù)時，a_2n-1=，
令n=2k-1，k∈N^*，則a_4k-3==k，即a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
當(dāng)a_2n=-2a_2n-1時，a_2n-1=-，
所以n為偶數(shù)時，a_2n-1=-，
令n=2k′，k′∈N^*，則a_4k′-1=-=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列；
所以S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇）
=（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n為偶數(shù)時，a_n=，且a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數(shù)列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）==2n²+n．
故答案為：（1）10；（2）2n²+n．
分析：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=，則a_2n=n，由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，點（a_2n-1，a_2n）在函數(shù)y=f（x）或y=g（x）的圖象上，得a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，從而可求得n為奇數(shù)時，a_2n-1=，n為偶數(shù)時，a_2n-1=-，易判斷a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數(shù)列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，由此可得S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇），代入即可求值；
（2）由（1）得S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n），化簡即可得到答案．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)列求和及數(shù)列的函數(shù)特性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，本題對學(xué)生能力要求較高，難度較大．