Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=1與x=-2時，都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞

4

c

-

1

2

，（c＞0）恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函數(shù)的最小值為f（1），要使不等式恒成立，既要證f（1）＞

4

c

-

1

2

，即可求出c的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意：

f′(1)=0 f′(-2)=0

即

3+2a+b=0 12-4a+b=0

，
解得

a= 3 2 b=-6

；
（2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²+3x-6，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
∴（x）的減區(qū)間為（-2，1）；增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞）．
∴x∈[-3，2]時，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值-

7

2

+c，
∴f（x）_min=-

7

2

+c＞

4

c

-

1

2

，
解得c＞4．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及掌握不等式的證明方法．