Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（1）若點(diǎn)在直線l上，求線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知，點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)Q在曲線C上，且的最小值為，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）直線l的直角坐標(biāo)方程曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）

【解析】

（1）將直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)整理得到，再根據(jù)點(diǎn)直線l上，把點(diǎn)代入直角坐標(biāo)方程求解.將曲線C的極坐標(biāo)方程，利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再將代入求解.

（2）根據(jù)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)Q在曲線C上，且的最小值為，則直線與曲線相離，聯(lián)立，由及已知，解得a的范圍， 將曲線轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得到，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

（1）因為直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），

消去參數(shù)得：，

整理得：，

因為點(diǎn)直線l上，

把點(diǎn)代入直角坐標(biāo)方程，解得．

所以直線的直角坐標(biāo)方程為．

因為曲線C的極坐標(biāo)方程為．

所以，

所以，

因為，

代入上式整理得：，

所以曲線C直角坐標(biāo)方程為：．

（2）聯(lián)立，得，

由得：或，

又，∴．

曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設(shè)，

所以：

所以當(dāng)時，，

解得：或，

又，∴．