在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足acosC=(2b-c)cosA
(1)求角A;
(2)若a=3,求△ABC面積S的最大值.
【答案】分析:(1)由正弦定理化簡已知的等式,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形后,根據(jù)sinB的值不為0,得出cosA的值,由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù);
(2)由a及cosA的值,利用余弦定理列出關系式,再利用基本不等式變形求出bc的最大值,最后由bc的最大值及sinA的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值.
解答:解:(1)利用正弦定理==化簡已知的等式得:
sinAcosC=(2sinB-sinC)cosA,即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA,
∴sin(A+C)=sinB=2sinBcosA,
∵B為三角形的內(nèi)角,即sinB≠0,
∴cosA=,又A為三角形的內(nèi)角,
則A=;
(2)∵a=3,cosA=
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得:9=b2+c2-bc≥2bc-bc,
∴bc≤9,
∴S△ABC=bcsinA≤
則△ABC面積S的最大值為
點評:此題考查了正弦、余弦定理,三角形的面積公式,基本不等式的運用,以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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b
a
=
sinB
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2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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