【題目】如圖,在三棱柱中,底面
是邊長為2的等邊三角形,平面
交
于點
,且
平面
.
(1)求證: ;
(2)若四邊形是正方形,且
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)連結,設
與
相交于點
,連接
,則
為
中點,根據線面平行的性質定理可得
,從而證明
為
的中點,根據正三角形的性質可證明
;(2)根據勾股定理可證明
,結合
,由線面垂直的判定定理可得
平面
,設
的中點為
,
的中點為
,以
為原點,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,建立空間直角坐標系
,可得直線
的方向向量為
,再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組,求出平面
的一個法向量,根據空間向量夾角余弦公式可得結果.
試題解析:(1)證:連結,設
與
相交于點
,連接
,
則為
中點,
∵平面
,
平面
平面
∴,
∴為
的中點.
又∵為正三角形,
∴.
(2)∵,∴
.
又,
∴.
又,∴
平面
設的中點為
,
的中點為
,以
為原點,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,建立空間直角坐標系
.
則,
,
∴.
平面的一個法向量
,
.
所以直線與平面
所成角的正弦值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某城市街道上一側路邊邊緣某處安裝路燈,路寬
為
米,燈桿
長4米,且與燈柱
成
角,路燈采用可旋轉燈口方向的錐形燈罩,燈罩軸線
與燈的邊緣光線(如圖
,
)都成
角,當燈罩軸線
與燈桿
垂直時,燈罩軸線正好通過
的中點.
(I)求燈柱的高
為多少米;
(II)設,且
,求燈所照射路面寬度
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐,側面
是邊長為2的正三角形,且平面
平面
,底面
是
的菱形,
為棱
上的動點,且
.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)試確定的值,使得二面角
的平面角余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2018貴州遵義市高三上學期第二次聯(lián)考】設拋物線的準線與
軸交于
,拋物線的焦點為
,以
為焦點,離心率
的橢圓與拋物線的一個交點為
;自
引直線交拋物線于
兩個不同的點,設
.
(Ⅰ)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某協(xié)會對,
兩家服務機構進行滿意度調查,在
,
兩家服務機構提供過服務的市民中隨機抽取了
人,每人分別對這兩家服務機構進行獨立評分,滿分均為
分.整理評分數(shù)據,將分數(shù)以
為組距分成
組:
,
,
,
,
,
,得到
服務機構分數(shù)的頻數(shù)分布表,
服務機構分數(shù)的頻率分布直方圖:
定義市民對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”如下:
分數(shù) | |||
滿意度指數(shù) | 0 | 1 | 2 |
(1)在抽樣的人中,求對
服務機構評價“滿意度指數(shù)”為
的人數(shù);
(2)從在,
兩家服務機構都提供過服務的市民中隨機抽取
人進行調查,試估計對
服務機構評價的“滿意度指數(shù)”比對
服務機構評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(3)如果從,
服務機構中選擇一家服務機構,以滿意度出發(fā),你會選擇哪一家?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】無窮數(shù)列滿足:
為正整數(shù),且對任意正整數(shù)
,
為前
項
,
,
,
中等于
的項的個數(shù).
(Ⅰ)若,請寫出數(shù)列
的前7項;
(Ⅱ)求證:對于任意正整數(shù),必存在
,使得
;
(Ⅲ)求證:“”是“存在
,當
時,恒有
成立”的充要條件。
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