Question

已知拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上異于 原點(diǎn)O的兩個(gè)不重合點(diǎn)，OA丄OB，且AB與x軸交于點(diǎn)T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)R滿足：，求點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)量積公式，結(jié)合A，B在拋物線上，即可求x₁x₂的值；
（2）分類討論，確定OA的方程與拋物線聯(lián)立，即可求T的坐標(biāo)；
（3）利用動(dòng)點(diǎn)R滿足：，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)差法，結(jié)合AB的中點(diǎn)M（），點(diǎn)T（4，0）都在直線AB上，即可求點(diǎn)R的軌跡方程．
解答：解：（1）由OA丄OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0
∵，，∴
代入上式得=0
∵y₁y₂≠0，∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=16；
（2）設(shè)T（t，0），當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，A，B，T三點(diǎn)共線，∴=
∴（y₂-y₁）t=y₂x₁-y₁x₂=-4（y₁-y₂）
∵y₁≠y₂，∴t=4
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，∵OA⊥OB，此時(shí)△AOB為等腰直角三角形，x₁=x₂=t，直線OA的方程式為y=x
與拋物線聯(lián)立，解得t=x₁=4
∴T的坐標(biāo)是（4，0）；
（3）設(shè)R（x，y），由F（1，0），，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y）
即
∵，，∴兩式相減可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，
∵AB的中點(diǎn)M（），點(diǎn)T（4，0）都在直線AB上，
∴k_AB=k_TM，即=代入上式得y•=4
化簡可得y²=4x-28
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，點(diǎn)R（7，0）符合上式
綜上可知點(diǎn)R的軌跡方程是y²=4x-28．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．