Question

拋物線x²=8y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn)，過A作直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上，P為MN中點(diǎn)，且（

BM

+

MP

）•

MN

=0．
（1）求|

OB

|的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出點(diǎn)B；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)（

BM

+

MP

）•

MN

=0得到PB垂直平分線段MN，由點(diǎn)斜式寫出MN所在直線方程，和拋物線聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由BP和MN垂直得到BP所在直線方程，取x=0得到B在y軸上的截距，由此得到|

OB

|的取值范圍；
（2）若存在點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°，則有（1）可知|BP|=

|MN|

2

，由兩點(diǎn)間的距離公式及弦長公式分別求出等式兩邊的長度（用含有k的代數(shù)式表示），兩邊平方后即可求解k的值，則答案可求．

解答：解：（1）拋物線為x²=8y，準(zhǔn)線為y=-2，
∴A（0，-2）．
MN的中點(diǎn)為P，∵（

BM

+

MP

）•

MN

=0，
∴

BP

•

MN

=0，∴PB垂直平分線段MN，
設(shè)MN為：y=kx-2，與x²=8y聯(lián)立，得
x²-8kx+16=0．
x_M+x_N=8k，x_Mx_N=16．
由△＞0⇒64k²-4×16＞0⇒k²＞1．
又點(diǎn)P坐標(biāo)為：xP=

xM+xN

2

=

8k

2

=4k，yP=kxP-2=4k2-2．
∴直線PB方程為：y-4k2+2=-

1

k

(x-4k)．
令x=0，得y=2+4k²＞6，∴|

OB

|的取值范圍是（6，+∞）；
（2）存在點(diǎn)B（0，10）為所求．
事實(shí)上，若存在點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．
因?yàn)橛桑?）知PB垂直平分線段MN，
所以|BP|=

|MN|

2

，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=

(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2

=4

k2+1

．

1

2

|MN|=

1

2

1+k2

(xM+xN)2-4xMxN

=

1

2

1+k2

64k2-64

=4

k4-1

．
∴4

k2+1

=4

k4-1

．
解得，k²=2，
∴點(diǎn)B（0，10）為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是能有題意得到相應(yīng)的等式，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．