Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義可得 ,又 ，可得 ，（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)可得AB，利用原點(diǎn)到直線距離得三角形的高，根據(jù)三角形面積公式可得的面積為，令，利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，

由橢圓的定義知： ，

所以，又因?yàn)?/span>，所以，

因此，所求橢圓的方程為；

（2）設(shè)過(guò)的直線的方程為： ，

由，消得： ，

∴，

∴，

∵到直線的距離，

∴，

令，則，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，

即時(shí)，取“=”，

∴的面積最大時(shí)，直線的方程為： 或.