以下命題:
①若|
a
b
|=|
a
|•|
b
|,則
a
b

a
=(-1,1)在
b
=(3,4)方向上的投影為
1
5
;
③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則
BC
CA
=20;
④若非零向量
a
、
b
滿足|
a
+
b
|=|
b
|,則|2
b
|>|
a
+2
b
|.
⑤已知△ABC中,
PN
=
1
3
PA
+
PB
+
PC
)則向量λ(
AB
+
AC
)(λ≠0)所在直線必過(guò)N點(diǎn).其中所有真命題的序號(hào)是
①②④
①②④
分析:①由|
a
b
|=|
a
|•|
b
|,知cos<
a
b
>=±1,由此能判斷①的正誤;
a
=(-1,1)在
b
=(3,4)方向上的投影為|
a
|•cos<
a
b
>,由此能判斷②的正誤;
③若△ABC中,由a=5,b=8,c=7,知cos∠ACB=
1
2
,由
BC
CA
=|
BC
|•|
CA
|•(-cos∠ACB)能求出結(jié)果;
④由|
a
+2
b
|=|
a
+
b
+
b
|≤|
a
+
b
|+|
b
|=2|
b
|,能推導(dǎo)出|2
b
|>|
a
+2
b
|;
⑤△ABC中,設(shè)A(0,1),B(2,4)C(6,1),P(x,y),利用特值法能得到向量λ(
AB
+
AC
)(λ≠0)所在直線不一定過(guò)N點(diǎn).
解答:解:①若|
a
b
|=|
a
|•|
b
|,則cos<
a
,
b
>=±1,
a
b
,故①正確;
a
=(-1,1)在
b
=(3,4)方向上的投影為|
a
|•cos<
a
,
b
>=
2
×
-3+4
2
×5
=
1
5
,故②正確;
③若△ABC中,∵a=5,b=8,c=7,
∴cos∠ACB=
64+25-49
2×5×8
=
1
2
,
BC
CA
=|
BC
|•|
CA
|•(-cos∠ACB)=5×8×(-
1
2
)=-20,故③不正確;
④∵|
a
+2
b
|=|
a
+
b
+
b
|≤|
a
+
b
|+|
b
|=2|
b
|,
a
b
是非零向量,
∴必有
a
+
b
b

∴上式中等號(hào)不成立.
∴|2
b
|>|
a
+2
b
|,故④正確;
⑤△ABC中,設(shè)A(0,1),B(2,4)C(6,1),P(x,y),
λ(
AB
+
AC
)=λ[(2,3)+(6,0)]=λ(8,3)=(8λ,3λ),
PN
=
1
3
PA
+
PB
+
PC
),
∴(x2-x,y2-y )=
1
3
(8-3x,6-3y)=(
8
3
-x,2-y),
∴N(
8
3
,2).
∴向量λ(
AB
+
AC
)(λ≠0)所在直線不一定過(guò)N點(diǎn),故⑤不正確.
故答案為:①②④.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題的真假判斷,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意平面向量知識(shí)的合理運(yùn)用.
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以下四個(gè)判斷,正確的是( 。

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設(shè)
a
,
b
,
c
 是空間任意的非零向量,且相互不共線,則以下命題中:
①(
a
?
b
)?
c
-(
c
?
a
 )?
b
=0;②|
a
|+|
b
|>|
a
-
b
|;③若存在唯一實(shí)數(shù)組λ,μ,γ 使γ
c
a
b
,則
a
b
,
c
共面;④|
a
-
b
|?|
c
|=|
a
c
-
b
c
|.真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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以下命題正確的是

A.若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形,則這個(gè)幾何體是棱臺(tái);

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C.“”是“”的必要不充分條件;

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設(shè)是兩個(gè)不同的平面,是一條直線,以下命題正確的是

A.若,則             B.若,則

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