Question

已知函數(shù)f（x）=ln

kx-1

x+1

（k＞0）為奇函數(shù)．
（I）求常數(shù)k的值；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x）+2^x+m，且g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的定義和條件f（-x）+f（x）=0，求出k的值之后，再驗證是否滿足函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．
（Ⅲ）利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln

kx-1

x+1

是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
則ln

kx-1

x+1

+ln

-kx-1

-x+1

=ln（

kx-1

x+1

•

-kx-1

-x+1

）=0，
即

kx-1

x+1

•

-kx-1

-x+1

=

k2x2-1

x2-1

=1，
即（kx）²-1=x²-1，
即k²=1，
則k=1或k=-1，
若k=1，則f（x）=ln

x-1

x+1

滿足成立，
若k=-1，則f（x）=ln

-x-1

x+1

=ln（-1）不成立，不滿足條件，
故k=1．
（Ⅱ）由

x-1

x+1

＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1或x＜-1}；
f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，下面給出證明．
設(shè)x₁＜x₂＜-1
則f（x₁）-f（x₂）=l

x1-1

x1+1

-ln

x2-1

x2+1

=ln

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

，
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁+1）（x₂-1）＞0，
∴0＜

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

＜1，
即ln

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2^x+m=ln

x-1

x+1

+2^x+m，
由g（x）=ln

x-1

x+1

+2^x+m=0，
得-m=ln

x-1

x+1

+2^x，
∵f（x）=ln

x-1

x+1

在（-∞，-1）上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，
∴f（x）=ln

x-1

x+1

在（1，+∞）上是增函數(shù)，
設(shè)m（x）=ln

x-1

x+1

+2^x，則函數(shù)m（x）在[3，4]上上是增函數(shù)，
則m（3）≤m（x）≤m（4），
即8+ln

1

2

≤m（x）≤16+ln

3

5

，
∵g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，
∴-m＞16+ln

3

5

或-m＜8+ln

1

2

，
即m＜-16-ln

3

5

或m＞-8-ln

1

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義函數(shù)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．