Question

如圖，在體積為

3

的正三棱錐A-BCD中，BD長為2

3

，E為棱BC的中點，求：
（1）異面直線AE與CD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）正三棱錐A-BCD的表面積．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過點A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則O為△BCD的中心，取BD中點F，連結(jié)AF、EF，故EF∥CD，所以AEF就是異面直線AE與CD所成的角．
（2）由AE=

2

可得正三棱錐A-BCD的側(cè)面積，從而可求正三棱錐A-BCD的表面積．

解答： 解：（1）過點A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則O為△BCD的中心，
由

1

3

•

3

4

•22•3•AO=

3

得AO=1．
又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE=

2

取BD中點F，連結(jié)AF、EF，故EF∥CD，
所以AEF就是異面直線AE與CD所成的角．
在△AEF中，AE=AF=

2

，EF=

3

，
所以cos∠AEF=

2+3-2

2• 2 • 3

=

6

4

．
所以，異面直線AE與CD所成的角的大小為arccos

6

4

．
（2）由AE=

2

可得正三棱錐A-BCD的側(cè)面積為S=3•

1

2

BC•AE=3

6

所以正三棱錐A-BCD的表面積為S=3

6

+

3

4

BC2=3

6

+3

3

．

點評：本題考查異面直線及其所成的角，考查正三棱錐A-BCD的表面積，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．