Question

設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）若橢圓的長半軸長為2，求拋物線方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點F₂，與拋物線C₁交于A₁，A₂兩點，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求l的斜率；
（3）是否存在實數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C₂的離心率為

1

2

，長半軸長為2，即可求出a，b，c的值，進而求出拋物線交點坐標，拋物線方程也就能求出．
（2）在（1）的條件下，可求出橢圓方程，這樣，焦點三角形△PF₁F₂的周長可知，也即|A₁A₂|．再利用弦長公式即可．
（3）先假設存在實數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，因為中間線段長度為2m，所以，最短線段長度為2m-1，再用拋物線定義即可求出．

解答：解：（1）∵橢圓C₂的離心率為

1

2

，長半軸長為2，∴

3

，
∵物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點為橢圓右焦點，∴

p

2

=1，∴拋物線方程y2=4x
（2）由（1）可知，橢圓方程為

x2

4

+ 

y2

3

= 1，所以△PF₁F₂的周長為2a+2c=6．
①當直線l斜率存在時，設直線方程為y=k（x-1），代入y2=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

|x1-x2|=

4

k4

+

8

k2

-5=0，解得，k=±

2

．
②當直線l斜率不存在時，A1點坐標為（1，

3

2

）A2（1，-

3

2

），∴|A₁A₂|=2

3

≠6，不成立．
綜上，直線l的斜率為±

2

．
（3）由題意可知，橢圓中c=m．橢圓C₂離心率為

1

2

，∴a=2c．
∴橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

= 1由，

x2 4m2 + y2 3m2 = 1 y2=4mx

得P點橫坐標為

2

3

m，在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a=4m，
|F₁F₂|=2m，∴|PF₂|，|F₁F₂|，|PF₁|成等差數(shù)列，
假設存在實數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，則PF₂|=|F₁F₂|-1=2m-1，又因為P在拋物線上，
∴|F₁F₂|=

2

3

m+m，∴m=3

點評：本題考查了橢圓，拋物線，與直線的位置關(guān)系，綜合性強，做題時認真觀察，找出切入點．