Question

圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則 的最小值是 ，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出 的值，即為所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圓心M（2+5sinθ，5cosθ），半徑等于1．
∵|CM|==5＞2+1，故兩圓相離．
∵=•cos∠EPF，要使  最小，需  最小，且cos∠EPF 最大，
如圖所示，設(shè)直線CM 和圓M 交于H、G兩點，則 的最小值是 ．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|===2 ，sin∠CHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2 ×2 ×=6，
故答案為：6．
點評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷 的最小值是 ，是解題的關(guān)鍵．考查分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．