圓C的方程為（x-2）2+y2=4，圓M的方程為（x-2-5sinθ）2+（y-5cosθ）2=1（θ∈R），過圓C上任意一點P作圓M的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則
PE
•
PF
的最小值是（　　）
A、6
B、
56
9
C、7
D、
65
9
分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則
PE
•
PF
的最小值是
HE
•
HF
，
利用 兩個向量的數(shù)量積的定義求出
HE
•
HF
的值，即為所求．
解答：解：（x-2）2+y2=4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M  （x-2-5sinθ）2+（y-5cosθ）2=1，
圓心M（2+5sinθ，5cosθ），半徑等于1．∵|CM|=
(5sinθ)2+(5cosθ)2
=5＞2+1，故兩圓相離．
∵
PE
•
PF
=|
PE
|•
|PF|
•cos∠EPF，要使 
PE
•
PF
 最小，需|
PE
| 和 
|PF|
 最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設直線CM 和圓C 交于H、G兩點，則
PE
•
PF
的最小值是
HE
•
HF
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
|HM|2-|ME|2
=
9-1
=2
2
，sin∠MHE=
|ME|
|MH|
=
1
3
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
7
9
，
∴
HE
•
HF
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
2
×2
2
×
7
9
=
56
9
，故選 B．
精英家教網(wǎng)
點評：本題考查兩圓的位置關系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合
的數(shù)學思想，判斷
PE
•
PF
的最小值是
HE
•
HF
，是解題的關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓C的方程為（x-2）2+y2=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則
PE
•
PF
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，2）兩點，且圓心在直線y=2x上，則圓C的方程為
（x-2）2+（y-4）2=5
（x-2）2+（y-4）2=5
．

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（2009•湖北模擬）圓C的方程為（x-2）2+y2=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別是E，F(xiàn)，則
PE
•
PF
的最小值是（　�。�

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已知圓C的圓心與圓O：x2+y2=1的圓心關于直線l：x+y-2=0對稱，且圓C與直線l相切，則圓C的方程為
（x-2）2+（y-2）2=2
（x-2）2+（y-2）2=2
．

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