已知橢圓C：  
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，
3
)，離心率為
1
2
．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，求
PA
•
PF
的取值范圍．

精英家教網(wǎng)
（1）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
由已知b=
3
， 
c
a
=
1
2
，
所以a=2， b=
3
， c=1，
得橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．

（Ⅱ）設(shè)P（x，y），
又A（-2，0），F(xiàn)（1，0），則
PA
=(-2-x，-y)，
PF
=(1-x，-y)，
∴
PA
•
PF
=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=
1
4
x2+x+1(-2≤x≤2)．
當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值0，當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值4，
∴
PA
•
PF
∈[0，4]
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知方向向量為
V
=(1，
3
)的直線l過(guò)橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0，-2
3
），直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)與另一焦點(diǎn)圍成的三角形周長(zhǎng)為4
6
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點(diǎn)，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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