Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，E、F分別為棱BC、AD的中點，PD⊥底面ABCD，且直線PA與直線BC所成的角為45°．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）在線段PB上是否存在點Q，使得FQ⊥面PBC？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，所以BE

∥ .

.

FD，所以，BEDF為平行四邊形，得ED∥FB，由此能夠證明DE∥平面PFB．
（Ⅱ）因為BC∥AD，所以∠PAD為直線PA與BC所成的角，所以∠PAD=45°，所以AD=PD=2．由此能夠求出四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）當Q是PB中點時，有QF⊥面PBC．取PC中點K，連DK，F(xiàn)K，則DK⊥面PBC．FK∥AD，F(xiàn)K=AD，由此能夠證明QF⊥面PBC．

解答：（Ⅰ）證明：因為E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，
所以BE

∥ .

.

FD，
所以，BEDF為平行四邊形，得ED∥FB，
又因為FB?平面PFB，
且ED?平面PFB，
所以DE∥平面PFB．…（4分）
（Ⅱ）因為BC∥AD，所以∠PAD為直線PA與BC所成的角，
所以∠PAD=45°，
所以AD=PD=2．
因為PD是四棱錐P-ABCD的高，
所以，所求體積為VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

．（9分）
（Ⅲ）當Q是PB中點時，有QF⊥面PBC．
取PC中點K，連DK，F(xiàn)K，則DK⊥面PBC．
∴FK∥AD，F(xiàn)K=AD，
∴QF∥DK，
∴QF⊥面PBC．…（14分）

點評：本題考查DE∥平面PFB的證明，求四棱錐P-ABCD的體積，探索在線段PB上是否存在點Q，使得FQ⊥面PBC．考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．