Question

【題目】函數(shù)f（x）=x2+ax+3．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x∈R時(shí)，有x2+ax+3﹣a≥0恒成立，

須△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即a2+4a﹣12≤0，所以﹣6≤a≤2

（2）解：當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，設(shè)g（x）=x2+ax+3﹣a≥0，

分如下三種情況討論（如圖所示）：

①如圖（1），當(dāng)g（x）的圖象恒在x軸上方時(shí)，滿(mǎn)足條件時(shí)，有△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即﹣6≤a≤2．

②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，

當(dāng)﹣ ≤﹣2時(shí)，g（x）≥0，即 即 解之得a∈Φ．

③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，

﹣ ≥﹣2時(shí)，g（x）≥0，即 即 ﹣7≤a≤﹣6

綜合①②③得a∈[﹣7，2]．

【解析】（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒為非負(fù)，利用根的判別式小于等于0即可．（2）對(duì)于[﹣2，2]區(qū)間內(nèi)的任意x恒成立，同樣考慮二次函數(shù)的最值問(wèn)題，按區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系分三種情況討，最后結(jié)合圖象即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了解一元二次不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．